みなさんありがとうございます。
参考になりました。

はじめまして。
私は現役のSEでプログラムも書きます。

まず基本情報技術者がどの程度就職に役立つか、ですが
「持ってるから仕事できるな。採用だな。」という程ではなく
「全く何も知らないことはないな」「少しは教える手間が減るかな」という印象がある感じですね。
それでも22歳新卒と比較されることを考えるとあった方がよいでしょう。

よく「資格なんて現場の仕事で役に立たない」と言われますが、
私は「現場で覚えられる知識は限られている」の裏返しだと思っています。
まずは就職できるかどうかが最重要の関心ごとだとは思いますが
長い目で見れば役立ちますし、取得（というか勉強）をオススメします。
私は上位資格の旧アプリケーションエンジニア（現システムアーキテクト）を持っており
色々とあって合格には至らなかったもののデータベーススペシャリストもあと一歩のところまで勉強しました。
そこで学んだことはとても役立っています。

次にスキルを証明する方法ですが、いろいろあります。
WEBサイトを構築する、
モノを作って動かす、
GooglePlayやAppleStoreでアプリを公開する、
saitoh_ABCさんのおっしゃるようにGitHubでソースを公開する、
オープンソースの開発に加わる、
Qiita（技術情報の投稿サイト）に投稿する。

いずれの場合も固有名詞や数字を具体的に言えることがポイントです。
「こんなサイト作ってます」
「○○というアプリを公開してます」
「Qiitaで記事を何本書きました」
など。資格よりこちらの方が採用ポイントになるかもしれません。

ハローワーク以外にコミュニティや勉強会なども探せばたくさんありますから、そこで話を聞いてみるのもいいと思います。
学生が多かったり学生が主催している勉強会もありますしぜひ探してみてください。

saitoh_ABCさんも指摘されていますが
「体調を崩してしまい」というのは確かに気になります。
無理な労働が即事故につながり会社の責任が問われる建設現場や工場、ドライバーなどと違い
椅子に座ってるだけのIT業界では残念ながら残業の監視があまり厳しくありません。
私自身正規の労働時間より時間外の方が多い時期もありました。

大手・元請けならいい、中小・下請けならしんどい、一概に言えるものでもありません。
大手で無茶している人、下請けでも決まった時間しか働かない人もいます。
難しいとは思いますが会社はよく選んでほしいと思います。

補足です。
初心者だとしたら、資格はあまり重視はされません。（スペシャリスト的な資格を持っていない限り）
ただし情報処理の基礎は取っておいたほうが、上級資格で試験が免除になるものがあるので、あったほうが今後のためになるかと思われます。情報処理系なら、ネットワークスペシャリストや、セキュリティスペシャリストなど（色々な分野の基礎になるので、取っておいたほうが後々のためです）。

言語は、好きな言語を選んでみてください。一つ覚えれば、あとは応用です。
githubで公開したりと、色々やり方はあります。
頑張ってください。

こんにちは。元プログラマです。

独学でも十分仕事はできるかと思います。
探せば、未経験可の求人もあるかと思います。（そのあたりは転職サイトなどを確認してみてください）

今でもあるかどうかわかりませんが、そういった未経験可の求人は、基本的に客先に常駐している派遣の仕事がほとんどです。自社開発の製品などもありますが、それほど多くないですし、基本的に経験者が対象です。

ステップアップのために何年か割り切って、未経験可の求人で働くかどうかを考えてみたほうがいいかもしれません。（こういったキャリアについての相談は、転職エージェントやハローワークでもありますので、活用してみてください）

また、プログラムと一口に言っても、機械制御、パソコンなどのプログラム、Webサイト作成やiphone, androidアプリなど様々です。どれをやりたいか、対象はありますか？
（大きい本屋のプログラミングの書籍のコーナーなどは見ていますか）

ここで聞くよりも、実際のハローワークに行った方がいいかもしれません。

あと、人手が足りないというのは、仕事の量が膨大すぎるということが原因です。
体調を崩したとあるので、それが不安かと思います。
私が辞めたのも、一つには腕のなさであったり、体調管理ができなくなったりだったので。
（100時間の残業が3か月続いたのが、直接の原因なのですが）

まだ、未経験可の求人は色々な職種があるかと思います。リアルのハローワークで求人票を見に行ってみてください。また、職業訓練校に安く通うなどもできたかと思います。